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terça-feira, 24 de janeiro de 2012

A universalidade dentro do caos (a nossa imaginação é o único limite...)

Economia do Caos: Caos e Complexidade na Economia:
A universalidade dentro do caos

Em 1975, o físico Mitchell Feigenbaum debruçou-se sobre as estranhas propriedades da função recursiva Xn = k Xn-1 (1 - Xn-1). Começando num valor qualquer de X e dando um valor ao parâmetro k entre 0 e 4, podemos ver qual vai ser o comportamento a longo prazo do sistema repetindo a fórmula recursiva um bom número de vezes. De início, para valores de k pequenos, o sistema converge para um valor. Com k = 3, o sistema alterna entre dois valores: é uma solução de período 2. Para k = 3,5 o período passa a ser 4, em k = 3,56 duplica de novo, para uma solução de período oito, começando a partir daqui a haver uma duplicação de período cada vez mais rápida, que aparece no gráfico (figura 4) como uma ramificação, até que perto de k = 3,58 o sistema se torna caótico. No entanto, de forma fascinante, o Caos desaparece esporadicamente, surgindo janelas periódicas, para reaparecer logo a seguir.












Figura 4: O diagrama de bifurcações da aplicação logística Xn = k Xn-1 (1 - Xn-1), representando para cada valor de k os valores de X para que tende.
Feigenbaum começou depois a calcular os valores de k para os quais se davam as duplicações de período. Como utilizou uma calculadora programável muito lenta, convinha-lhe calcular o próximo valor de forma aproximada para ter de esperar menos tempo pelo resultado. Foi isto que lhe abriu a porta para uma descoberta estranhíssima: os números para os quais se dava uma duplicação de período aumentavam à razão constante de 4,6692016090. Espantado com esta regularidade, Feigenbaum repetiu os cálculos para a função trigonométrica Xn = k sen (Xn-1). Para sua surpresa, havia também uma razão de escalas, 4,6692016090: era igual!
Feigenbaum tinha descoberto a universalidade no Caos. O seu número é a constante de proporcionalidade para a duplicação de período não só em inúmeras funções matemáticas mas também em sistemas físicos reais, como células de convexão, fluidos turbulentos e até sistemas electrónicos, ópticos ou biológicos.






Figura 2: O Atractor de Lorenz








Figura 3: Outro atractor estranho - o Atractor de Rossler
às

Um comentário:

  1. "O 4º REICH" Canal de TheThainer24 de janeiro de 2012 às 13:43

    A tradução matemática desta complexidade geométrica é a introdução de um conceito tão bizarro como o de que dimensão de um fractal é fraccionária. A 'dimensão fractal' (originalmente, dimensão de Hausdorf-Besicovitch) traduz o grau de irregularidade de um fractal, sendo calculada através de uma definição matemática. Por exemplo, a dimensão fractal do Conjunto de Cantor é 0,6309
    (log 2 / log 3), enquanto a da curva de Koch é 1,2619 (log 4 / log 3). Isto significa, por exemplo, que a curva de Koch, por ser mais "enrugada", ocupa mais espaço do que uma simples linha recta , mas menos espaço do que uma superfície .

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